Angka 0 (Nol)

Angka yang cukup membuat kontroversi. Meskipun 0 itu lebih kecil dari pada 1, tetapi kemunculan angka nol ternyata jauh bertahun-tahun setelah angka 1 sampai 9 sudah dinotasikan. Angka 0 muncul karena adanya suatu permasalahan pada pengurangan. Jika mempunyai 5 sapi, kemudian 5 sapi itu dijual maka sisa sapi adalah tidak ada. Saat itu pun orang bingung dengan notasi yang tepat untuk menunjukkan tidak ada. Sampai akhirnya disepakati dengan menuliskan lambang 0 (baca : nol).

Beberapa tahun kemudian, suatu masalah muncul? Suatu masalah yang berhubungan dengan angka 0.

Bagaimana jika membagi dengan angka 0?

Pembagian dengan nol mengakibatkan semua angka bernilai sama. Sehingga pada waktu itu ada sebuah berita bahwa angka 0 akan dihapus. Tetapi bagaimana dengan bilangan 10, 100 dan bilangan yang memuat angka nol yang lain? Sampai akhirnya, karena angka 0 lebih banyak kegunaannya maka kemudian angka 0 ditetapkan sebagai lambang bilangan. Angka nol masuk ke dalam kategori bilangan cacah. Dan selanjutnya pembagian dengan angka nol tidak didefinisikan.

Identitas Penjumlahan

Pada penjumlahan berlaku r + 0 = 0 + r  dengan  sebarang bilangan real. 0 di sini adalah sebagai identitas penjumlahan. Sebarang bilangan jika ditambah dengan angka 0 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri

3 + 0 = 3

3,1415 + 0 = 3,1415

Perkalian dengan nol

Setiap bilangan real yang dikalikan dengan nol, maka hasilnya adalah nol. Bisa dituliskan a x 0 = 0 x a, untuk sebarang  bilangan real.

23 × 0 = 0 × 23 = 0

47 × 0 = 0 × 47 = 0

Bagaimana dengan tak hingga dikalikan dengan nol.

∞ × 0 = ?

Hasilnya ya sama dengan nol.

Pembagian dengan nol

Dalam ilmu hitung matematika, satu hal yang tidak boleh dilakukan adalah membagi dengan nol. Dalam kehidupan, kita ibaratkan membagi dengan nol itu sama halnya dengan membuang suatu rezeki. Membagi dengan 1 bisa ditafsirkan dengan mengambil suatu rezeki hanya untuk dirinya sendiri. Membagi dengan 2 bisa ditafsirkan membagi rezeki kepada dua orang. Dan seterusnya.

Agama kita melarang untuk membuang suatu rezeki. Meskipun rezeki itu nilainya sangatlah kecil.  Demikian halnya dalam ilmu hitung matematika. Membagi dengan nol itu tidak boleh dilakukan. Karena akibatnya sangatlah fatal. Coba perhatikan hal berikut

Anggap a = b 

a^2     = ab                              [kedua ruas dikali dengan ]

      a^2 – b^2 = ab – b^2                    [kedua ruas dikurang b^2]

(a + b)(a - b)   = b (a - b)                     [pemfaktoran]

            (a+b)  = b                                [kedua ruas dibagi  a - b]

 Karena pada awalnya kita menganggap  a = b. Maka ganti  dengan  

b + b = b

     2b = b

       2 = 1

Akibat yang sangat fatal. Ini mengakibatkan 2 = 1. Padahal seharusnya 2 tidak sama dengan 1

Kesalahan terjadi pada bentuk

( a + b )(a-b) = b (a-b) menjadi a + b = b

Di situ kita melakukan pembagian dengan nol.

Karena a = b maka nilai a – b = b – b = 0

Ingat! Pembagian dengan nol itu tidak didefinisikan.

Nol per nol

Tidak jauh berbeda dari pembagian dengan nol. Nol per nol bisa diibaratkan sesuatu yang tidak ada, dan tidak dibagikan kepada siapapun. Sesuatu yang kosong yang dibuang. Tidak ada artinya membicarakan hal tersebut. Begitu juga nol per nol. Jika memang di awal kita sudah tidak diperbolehkan membagi dengan nol. Di sini berlaku pula untuk pembilang sama dengan nol. Tidak boleh dilakukan. Hasilnya pun tidak didefinisikan.

Kalau sebelumnya kita ketahui bahwa pembagian dua bilangan yang sama hasilnya 1, maka sekarang wajib kita berikan pengecualian yaitu untuk dua bilangan yang sama itu adalah 0.

a^0 (a Pangkat Nol)

Setiap bilangan yang dipangkatkan nol hasilnya sama dengan 1. Sebuah definisi mengatakan, jika  bilangan real dan,    a ≠ 0 maka a° = 1. Ini adalah sebuah definisi. Dan bukan merupakan sebuah teorema.

0^a (Nol Pangkat a)

Untuk a ≠ 0   , nilai dari 0^a  sama dengan nol.

Karena menurut definisinya yaitu 0 x 0 x 0 x 0 x … x 0 sebanyak a faktor 0.

Hasilnya akan tetap sama dengan nol. Ini juga merupakan bagian dari pembahasan sebelumnya yaitu perkalian dengan nol. Hasilnya sama dengan nol.

0^0(nol pangkat nol)

Ingat sifat perkalian pada bilangan pangkat.  A ^ m × a ^ n = a ^ ( m + n ).

Kita ambil a = 0 dan m = 0. Sedangkan n ≠ 0. Selanjunya bisa kita tuliskan  0 ^ 0 × 0 ^  n = 0 ^ ( 0  + n ). Ingat  0 ^ n untuk n bukan nol nilainya adalah nol. Dan akhirnya kita dapatkan

0 ^ 0 × 0 = 0

Misalkan kita ambil 0 ^ 0 = 1, maka hasilnya benar.

Kita ambil 0 ^ 0 = 7, hasilnya pun benar. 7 × 0 = 0.

Kita ambil bilangan berapapun akan memenuhi. Ingat kembali sifat perkalian dengan angka 0. Sebarang bilangan bisa mewakili 0 ^ 0.

Oleh karena itu 0 ^ 0 akhirnya tidak didefinisikan.

Mungkin beberapa kalkulator scientific masih menuliskan bahwa 0 ^ 0 = 1. Padahal jelas-jelas hal ini adalah salah.

0!

Baca 0 faktorial. Notasi seperti ini didefinisikan sebagai berikut :

n! (baca: n faktorial), didefinisikan sebagai perkalian bilangan asli dari n sampai 1 sebagai berikut

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙  ( n – 1  ) ∙ n

dan 0! = 1