MASA EUDOXUS

MASA EUDOXUS

A.      Theaetetus

Plato memiliki murid yang cerdas bernama Theaetetus, yang meninggal dalam pertempuran pada tahun 369 SM. Theaetetus menunjukkan bahwa akar kuadrat dari sebuah bilangan asli adalah irasional jika dan hanya jika bilangan asli bukan bilangan kuadrat. Theaetetus bertanggung jawab atas materi dalam Buku X dan XIII dari Elemen Euclid . Socrates dan Theaetetus membahas tiga definisi pengetahuan : pengetahuan sebagai persepsi , pengetahuan sebagai penilaian yang benar , dan, akhirnya, pengetahuan sebagai penilaian yang benar dengan sebuah akun. Masing-masing definisi ini terbukti tidak memuaskan.

Socrates menyatakan Theaetetus akan mendapat manfaat dari menemukan apa yang tidak dia ketahui, dan bahwa dia mungkin lebih mampu mendekati topik tersebut di masa depan. Pembicaraan berakhir dengan pengumuman Socrates bahwa ia harus pergi ke pengadilan untuk menghadapi dakwaan pidana . Socrates bertanya kepada Theodorus apakah dia tahu ada siswa geometri yang menunjukkan janji tertentu. Theodorus meyakinkannya bahwa dia melakukannya, tetapi bahwa dia tidak ingin terlalu memuji anak itu, jangan sampai ada yang curiga dia jatuh cinta padanya. Dia mengatakan bahwa bocah itu, Theaetetus, adalah Socrates muda yang mirip, agak sederhana, dengan hidung pendek dan mata yang menonjol. Dua lelaki yang lebih tua melihat Theaetetus menggosok dirinya sendiri dengan minyak, dan Theodorus meninjau fakta-fakta tentangnya, bahwa dia cerdas, jantan, dan yatim piatu yang warisannya telah dihambur-hamburkan oleh wali.

Socrates memberi tahu Theaetetus bahwa ia tidak dapat mengetahui apa itu pengetahuan, dan sedang mencari formula sederhana untuk itu. Theaetetus mengatakan dia benar-benar tidak tahu bagaimana menjawab pertanyaan itu, dan Socrates mengatakan kepadanya bahwa dia ada di sana untuk membantu. Socrates mengatakan dia telah mencontoh kariernya setelah ibu bidan . Dia melahirkan bayi dan untuk bagiannya, Socrates dapat mengetahui kapan seorang pria muda berada dalam pergolakan mencoba melahirkan pemikiran. Socrates menganggap karya filosofisnya sebagai kebidanan ( maieutika ). Metode ini, yang kemudian juga disebut metode Sokrates, terdiri dari memunculkan pengetahuan dengan serangkaian pertanyaan dan jawaban.

Socrates berpikir bahwa gagasan bahwa pengetahuan adalah persepsi harus identik dalam makna, jika tidak dalam kata-kata yang sebenarnya, dengan pepatah Protagoras yang terkenal "Manusia adalah ukuran dari semua hal." Socrates bergumul untuk mengacaukan kedua gagasan itu, dan mengajukan klaim tentang Homer sebagai kapten tim teoritikus fluks Heraclitan . Socrates mendiktekan buku teks lengkap tentang kekeliruan logis kepada Theaetetus yang bingung. Ketika Socrates memberi tahu anak itu bahwa dia (Socrates) nantinya akan lebih kecil tanpa kehilangan satu inci pun karena Theaetetus akan tumbuh relatif terhadapnya, anak itu mengeluh pusing (155c). Dalam kalimat yang sering dikutip, Socrates mengatakan dengan gembira bahwa "heran (thaumazein) milik filsuf". Dia menasihati bocah itu untuk bersabar dan menanggung pertanyaan-pertanyaannya, sehingga kepercayaannya yang tersembunyi dapat ditarik keluar ke dalam cahaya terang hari.

Ketika Socrates meringkas apa yang telah mereka setujui sejauh ini, menjadi problematis bahwa pengetahuan adalah persepsi indra, karena Socrates mengajukan pertanyaan bahwa "Ketika angin yang sama berhembus, salah satu dari kita merasa dingin dan yang lain tidak?" Sebagai hasilnya, ia memperkenalkan ide fluks Heraclitean untuk bertindak sebagai pembelaan terhadap keberatan angin. Heracliteanism menunjukkan bahwa "Tidak ada satu hal pun dalam dirinya sendiri ... Semuanya dalam proses menjadi". Jadi karena tidak ada makna tetap dalam hal-hal, tetapi mereka menarik artinya dalam perbedaan referensial untuk hal-hal lain, keberatan angin dapat dimasukkan ke dalam klaim Theaetetus bahwa "Pengetahuan adalah persepsi indera". 

Akibatnya, mereka kemudian dapat melanjutkan penyelidikan mereka tentang kebenaran klaim ini. Penting untuk dicatat bahwa doktrin Heraclitean tentang Flux tidak sama dengan doktrin Protagoras. Protagorean adalah relativisme kebenaran radikal sedangkan Heraclitean adalah relativisme realitas radikal. Ini berfungsi sebagai teori pendukung untuk interpretasi Protagoras atas klaim Theaetetus, agar mereka dapat sepenuhnya bertanya tentang validitas premis ini. Socrates mengakui bahwa sangat disayangkan Protagoras sudah mati dan tidak dapat mempertahankan idenya terhadap orang-orang seperti dirinya. Dia mengatakan bahwa mereka berdua "menginjak-injak anak yatim" (164e) tetapi tuduhan itu tetap ada.

Karena Protagoras sudah mati, Socrates menempatkan dirinya pada posisi sofis dan mencoba melakukan kebaikan untuk membela idenya (166a-168c). Socrates mengakui bahwa jika Protagoras masih hidup, dia akan memiliki lebih banyak hal untuk dikatakan dalam pembelaannya sendiri, dan bahwa mereka sekarang pada dasarnya memperlakukan "anak yatim piatunya." Menempatkan kata-kata di mulut sofist mati, Socrates menyatakan bahwa Protagoras menegaskan dengan pepatahnya bahwa semua hal yang bergerak dan apa pun yang tampaknya menjadi kasus, adalah kasus untuk pengamat, baik individu atau negara.

Di akhir pidatonya, Socrates mengakui kepada Theodorus bahwa Protagoras akan melakukan pekerjaan yang jauh lebih baik dalam mempertahankan ide-idenya sendiri. Theodorus memberi tahu Socrates bahwa dia pasti bercanda, bahwa dia telah melakukan tugas dengan semangat kekanak-kanakan. Theodorus tidak mengaku sebagai murid Protagoras, tetapi menyatakan bahwa ia adalah seorang teman. Socrates mengundang Theodorus untuk melakukan pembelaan yang lebih kuat terhadap Protagoras, karena dia tidak ingin itu menyarankan bahwa dia telah menggunakan sifat takut-takut anak (dari Theaetetus) untuk membantunya dalam argumennya melawan doktrin Protagoras (168d).

Socrates, sama sekali tidak yakin bahwa dia tidak salah menggambarkan Protagoras dalam membuat setiap orang mengukur kebijaksanaannya sendiri, menekan Theodorus pada pertanyaan apakah ada pengikut Protagoras (termasuk dirinya sendiri) akan berpendapat bahwa tidak ada yang berpikir orang lain salah (170c) . Theodorus terbukti tidak berdaya melawan argumen Socrates. Dia setuju bahwa Protagoras mengakui bahwa mereka yang tidak setuju dengannya benar (171a). Dalam menjadikan Protagoras sebagai relativis epistemologis yang lengkap, di mana persepsi individu setiap orang adalah realitas dan kebenarannya, baik Socrates maupun Theodorus melukis Protagoras sebagai mempertahankan posisi yang absurd.

Socrates kemudian mulai menjelaskan mengapa para filsuf tampak canggung dan bodoh bagi umat manusia. Socrates menjelaskan bahwa para filsuf terbuka terhadap ejekan karena mereka tidak peduli dengan minat kebanyakan orang: mereka tidak peduli tentang skandal di rumah tetangga mereka, melacak leluhur seseorang hingga Heracles , dan sebagainya. Sebaliknya, filsuf prihatin dengan hal-hal yang, seperti kecantikan dan pengetahuan, yang "benar-benar lebih tinggi". Di sinilah Socrates menggambar potret klasik intelektual yang linglung yang tidak bisa membuat tempat tidur atau memasak makanan (175e). Socrates menambahkan bifurkasi besar pada pidato ini, dengan mengatakan bahwa hanya ada dua jenis kehidupan yang harus dijalani: yang bahagia secara ilahi, hidup oleh para filsuf yang saleh atau yang tidak bertuhan, yang sengsara, seperti kebanyakan orang hidup (176-177). Socrates mengakui ini adalah penyimpangan yang mengancam untuk menenggelamkan proyek aslinya, yaitu untuk mendefinisikan pengetahuan. Theodorus, geometer lama, memberi tahu Socrates bahwa dia menemukan hal semacam ini lebih mudah diikuti daripada argumen sebelumnya.

Socrates mengatakan bahwa para pria fluks, seperti Homer dan Heraclitus, sangat sulit diajak bicara karena Anda tidak dapat menjabarkannya. Ketika Anda mengajukan sebuah pertanyaan kepada mereka, katanya, mereka mencabut sedikit dari kata mutiara mereka untuk membiarkan Anda terbang, dan ketika Anda mencoba untuk menemukan yang satu itu, mereka menyepak satu sama lain pada Anda. Mereka tidak meninggalkan apa pun yang diselesaikan dalam wacana, atau dalam pikiran mereka sendiri. Socrates menambahkan bahwa aliran pemikiran yang berlawanan, yang mengajarkan tentang "keseluruhan yang tak tergoyahkan" sama sulitnya untuk diajak bicara (181a, b). Socrates mengatakan dia bertemu dengan bapak gagasan itu, Parmenides , ketika dia masih sangat muda, tetapi tidak ingin masuk ke penyimpangan lain tentang hal itu.

Socrates membandingkan pikiran manusia dengan kandang burung. Socrates menarik perbedaan antara memiliki dan memiliki ; yang pertama biasanya menyiratkan yang terakhir, meskipun di sisi lain, seseorang dapat memiliki sesuatu, seperti burung, tanpa benar-benar memilikinya (dengan mereka setiap saat) (199a). Socrates mengatakan bahwa ketika seorang pria mencari -cari sesuatu dalam pikirannya, dia mungkin menangkap hal yang salah. Dia mengatakan bahwa salah mengira sebelas untuk dua belas seperti masuk untuk merpati dan datang dengan seekor merpati (199b). Theaetetus bergabung dalam permainan, dan mengatakan bahwa untuk melengkapi gambar, anda perlu membayangkan potongan-potongan ketidaktahuan terbang disana bersama burung-burung. Tetapi jika ini maslahnya, bagaimana anda bisa membedakan antara burung yang mewakili pengetahuan nyata dan yang mewakili yang palsu? Apakah ada burung lain yang mewakili jenis pengetahuan ini? Socrates sampai pada kesimpulan bahwa ini tidak masuk akal dan karena itu ia membuang analogi kandang burung.

Setelah membuang analogi sangkar burung, Socrates dan Theaetetus kembali ke definisi pengetahuan sebagai 'penilaian sejati' (200e). Theaetetus berpendapat, ini benar karena itu 'bebas dari kesalahan' (200e). Namun Socrates memperkenalkan contoh juri di pengadilan, dibujuk oleh pengacara. Persuasi ini tidak sama dengan mengetahui kebenaran, karena semua yang dihasilkan adalah 'keyakinan' dalam menilai apa pun yang diinginkan pengacara (201a). Meskipun Theaetetus berharap ada kemungkinan pengacara akan dapat 'membujuk' juri kebenaran (201b), Socrates tidak puas seolah-olah mereka dibujuk dengan adil, mereka akan memiliki pengetahuan yang benar. Namun, dalam kepercayaan Socrates, mereka tidak dapat membuat penilaian yang benar karena mereka tidak akan memiliki pengetahuan yang benar (201c). Dengan konflik ini, Socrates memutuskan bahwa penilaian dan pengetahuan yang benar harus merupakan hal yang berbeda.

Setelah membedakan antara pengetahuan dan penilaian yang benar, Theaetetus ingat diberi tahu bahwa penilaian yang benar 'dengan akun ( logo ) sama dengan pengetahuan (201d). Hal-hal tanpa akun 'tidak dapat diketahui', sedangkan hal-hal dengan akun 'dapat diketahui'.

Socrates merespons dengan menceritakan sebuah mimpi, di mana ia mendengar orang berbicara tentang unsur-unsur utama (201e). Elemen-elemen utama ini hanya dapat dinamai, mereka tidak dapat dianggap sebagai ada atau tidak - ia memberikan contoh kata-kata seperti 'itu sendiri, atau itu, masing-masing, sendiri atau ini' (202a). Meskipun mereka dapat ditambahkan ke kata lain, mereka sendiri hanyalah sebuah nama. Ketika elemen-elemen ini ditambahkan bersama-sama, Socrates mengatakan bahwa 'kompleks' terbentuk (202b). Unsur-unsur utama 'tidak dapat dipertanggungjawabkan dan tidak dapat diketahui, tetapi dapat dipahami' sementara kompleksnya 'dapat diketahui dan diekspresikan' dan dengan demikian dapat menjadi objek 'penilaian sejati' (202b). Dia menyimpulkan mimpinya dengan menyetujui dengan Theaetetus bahwa pengetahuan adalah 'penilaian yang benar dengan sebuah akun' (202c).

Namun, Socrates mengungkap beberapa kesulitan dengan memeriksa surat. Dia mengambil dua huruf pertama dari namanya, S dan O untuk bertanya-tanya apakah suku kata 'Jadi' dapat diketahui sementara masing-masing huruf tidak (203b-d). Theaetetus menganggap gagasan itu aneh, sehingga Socrates menyimpulkan bahwa untuk mengetahui suku kata, huruf-huruf itu harus diketahui terlebih dahulu (203e). Socrates mengusulkan bahwa suku kata dapat berupa 'bentuk tunggal' yang dihasilkan dari surat-surat itu. Dengan mengingat hal ini, Socrates mempertimbangkan apakah 'jumlah' dan 'keseluruhan' adalah sama (204a). Theaetetus awalnya mengatakan mereka tidak, tetapi berubah pikiran dalam kebingungan ketika Socrates membimbingnya melalui matematika dan berbagai cara mengekspresikan angka enam (204c-205b). Setelah menyetujui ini, Socrates kembali ke subjek suku kata dan huruf untuk menyimpulkan dari jawaban Theaetetus bahwa suku kata berbeda dari huruf dan tidak dapat mengandung huruf (205b). Theaetetus mengakui ide ini konyol (205c). Socrates kembali berbicara tentang elemen dan kompleks untuk mengusulkan bahwa mereka berada di kelas yang sama, karena mereka tidak memiliki bagian dan [adalah] bentuk tunggal '(205d).

Socrates meringkaskan pembalikan ini dengan menyatakan bahwa jika ada orang yang mencoba memberi tahu mereka kompleks itu dapat diketahui dan diekspresikan sementara elemennya adalah sebaliknya, "lebih baik kita tidak mendengarkannya" (205e). Dia mengutip contoh seorang musisi yang membedakan not-not individual (diakui sebagai elemen musik) untuk mengusulkan bahwa elemen-elemen 'jauh lebih jelas dikenal' (206b).

Socrates mengusulkan akun untuk 'membuat pemikiran seseorang terlihat secara vokal melalui kata-kata dan ekspresi verbal' (206d). Namun, ia bertanya-tanya apakah itu benar, semua orang akan dapat membuat penilaian 'dengan akun' karena mereka semua (kecuali untuk tuli dan bisu) menyuarakan dan mengungkapkan pendapat tentang masalah (206e). Socrates memeriksanya lebih lanjut dengan menyarankan bahwa seorang pria yang dapat menyuarakan penilaiannya harus dapat membuat referensi ke elemen-elemen utama subjek (207a). Memberikan contoh mendefinisikan gerobak dengan bagian-bagiannya (207a), kesepakatan dicapai bahwa akun 'melalui elemen sesuatu dengan elemen' (207d). 

Socrates mempertanyakan Theaetetus dengan menggambar pada pembelajarannya tentang bagaimana menulis, dan gagasan bahwa jika Anda salah menempatkan elemen individu (huruf) dari sebuah nama, itu tidak berarti Anda memiliki pengetahuan tentang itu (208a). Ini menyelesaikan definisi kedua Socrates tentang akun sebagai 'jalan menuju keseluruhan melalui elemen-elemen' (208c). Definisi ketiga yang ditawarkan Socrates adalah 'dapat memberi tanda pada objek yang Anda tanyakan berbeda dari semua hal lain' (208c), memberikan contoh bahwa Matahari berbeda untuk kecerahannya. Namun, definisi akun ini gagal karena dengan mengetahui perbedaan suatu objek, Anda harus memperoleh pengetahuan tentangnya. Dengan demikian jawaban atas pertanyaan awal 'Apa itu pengetahuan' akan sangat berputar-putar - penilaian yang benar disertai dengan 'pengetahuan' tentang perbedaan, yang diakui Socrates adalah 'konyol' (210a).

B.  Eudoxus

Eudoxus (405-355 SM) berasal dari Cnidus, sebuah pulau kecil Yunani di dekat Turki saat ini. Dia membedakan dirinya dalam astronomi, kedokteran, geografi, filsafat, dan, tentu saja, matematika.  Dia adalah murid  Plato. Semua karyanya telah hilang sehingga informasi mengenainnya kita peroleh dari sumber-seumber sekunder, misalnya sajak sajak Aratos mengenai astronomi. Sphaerics karya Theodosius dari Bithynia didasarkan pada karya Eudoksos.

Sebagai seorang pemuda, Eudoxus belajar di Akademi Plato, berjalan kaki dari Piraeus, distrik pelabuhan. Belakangan ia terlibat dalam filsafat kontroversi dengan Plato.  Eudoxus adalah seorang hedonis, tetapi Plato menempatkan kebijaksanaan di atas kesenangan. Sebagai seorang pemuda, Eudoxus belajar di Akademi Plato, berjalan kaki dari Piraeus, distrik pelabuhan. Belakangan ia terlibat dalam filsafat kontroversi dengan Plato.  Eudoxus adalah seorang hedonis, tetapi Plato menempatkan kebijaksanaan di atas kesenangan.

Hubungan dengan Plato adalah teman sekaligus murid. Eudoxus memperluas jangkauan menghitung luas bentuk-bentuk geometri dengan menggunakan pertambahan angka-angka yang sangat kecil (infinitesimal). Dia terlalu miskin untuk belajar di akademi Athena, sehingga di tinggal di Piraeus, dan setiap hari dia berangkat ke akademi Plato. Meskipun Plato bukan seorang matematikawan, Plato mencoba menekuni matematika atas dorongan murid berbakat ini, Eudoxus.

Eudoxus menjelajah Mesir dan Yunani untuk belajar Geometri. Eudoxus menemukan “metode makin lama makin kecil”, untuk menghitung luas bentuk-bentuk geometri. Sebagai contoh, dia menghitung luas lingkaran dengan menjumlah luas segi empat-segi empat kecil, yang lebih mudah dihitung luasnya. Cara yang mirip juga digunakan Archimedes untuk menghitung besar Л (pi), namun dengan menggunakan segi enam, bukan segi empat. Metode ini sekarang dipakai dalam integral kalkulus.

Eudoxus juga menciptakan teori tentang planet, yang sangat terkenal dan diterbitkan dalam buku On Velocities yang sekarang tidak diketahui rimbanya. Barangkali pengaruh Pythagoras masih kental lewat gurunya, Archytas. Tidaklah mengherankan Eudoxus mengembangkan sistem yang didasarkan pada silinder mengikuti Pyhtagoras bahwa silinder adalah bentuk paling sempurna. Banyak pemerhati percaya bahwa Plato mendapat inspirasi tentang gerakan planet dari Eudoxus.

Eudoxus bertanggung jawab atas materi dalam Buku V dan XII dari Elemen Euclid. Buku V tentang perbandingan. Dimana a/b = c/d jika dan hanya jika diketahui bilangan m dan n, bilangan ma < nb, maka mc < nd, atau jika ma = nb, maka mc = nd, atau jika ma > nb, maka mc > nb.

C.      Menaechmus

Menaechmus (350 SM) belajar di bawah Plato dan Eudoxus. Menaechmus menemukan kerucut, mendefinisikannya sebagai 'bagian' kerucut dan menurunkan persamaan rumus geometri analitiknya. Sebagai contoh, ia mendefinisikan parabola sebagai persimpangan kerucut bundar kanan dan bidang sejajar dengan garis lurus di (permukaan) kerucut.

Menaechmous menemukan lagi kurva-kurva baru yang dikenal dengan ellips.,parabola,dan hiperbola. Dengan mengenal kurva baru ini maka problem delion dengan mudah dapat diselesaikan.Dalam memperlihatkan sifat-sifat irisan kerucut, menaechmus mulai dengan kerucut tegak siku-siku (sudut puncak 90^o ). Apabila kerucut ini dipotong oleh bidang datar tegak lurus pada suatu unsur kerucut maka kurva dari irisan yang terjadi persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk y 2 =1x,dimana 1 suatu konstanta yang besarnya tergantung dengan jarak antara titik puncak dengan perpotongan bidang.

Misalkan bidang memotong kerucut pada titik V, P, dan Q, di mana V adalah puncak parabola, dan P dan Q adalah titik yang berlawanan satu sama lain pada kerucut.

Potongan-potongan kerucut temuan Menaechmus ditemukan secara tidak sengaja ketika dia berusaha menyelesaikan problem dalam nisbah (ratio) antara dua garis lurus. Hasilnya adalah menyelesaikan problem duplikasi kubus dengan menggunakan potongan-potongan kerucut. Misal: diketahui garis lurus dengan ujung a dan b; kita ingin mencari perbandingan titik-titik x dan y yang terletak diantaranya:

            a : x  =  x : y  =  y : b            diperoleh  a/x = y/b → xy = ab

Perhatikan bahwa nilai x dan y ditemukan dari titik-titik potong parabola: x² = ay dan hiperbola  tegak lurus xy = ab. Di sini tidak tampak adanya upaya Menaechmus menyelesaikan problem, namun di sini ditampilkan pula istilah modern tentang bagaimana parabola dan hiperbola mampu menjadi solusi bagi problem matematika. 

Perhatikanlah:

             a/x = x/y → x² = ay; dan x/y = y/b → y² = bx

Nilai x dan y adalah titik-titik potong dua parabola x² = ay dan y² = bx.

Angka 0 (Nol)

Angka yang cukup membuat kontroversi. Meskipun 0 itu lebih kecil dari pada 1, tetapi kemunculan angka nol ternyata jauh bertahun-tahun setelah angka 1 sampai 9 sudah dinotasikan. Angka 0 muncul karena adanya suatu permasalahan pada pengurangan. Jika mempunyai 5 sapi, kemudian 5 sapi itu dijual maka sisa sapi adalah tidak ada. Saat itu pun orang bingung dengan notasi yang tepat untuk menunjukkan tidak ada. Sampai akhirnya disepakati dengan menuliskan lambang 0 (baca : nol).

Beberapa tahun kemudian, suatu masalah muncul? Suatu masalah yang berhubungan dengan angka 0.

Bagaimana jika membagi dengan angka 0?

Pembagian dengan nol mengakibatkan semua angka bernilai sama. Sehingga pada waktu itu ada sebuah berita bahwa angka 0 akan dihapus. Tetapi bagaimana dengan bilangan 10, 100 dan bilangan yang memuat angka nol yang lain? Sampai akhirnya, karena angka 0 lebih banyak kegunaannya maka kemudian angka 0 ditetapkan sebagai lambang bilangan. Angka nol masuk ke dalam kategori bilangan cacah. Dan selanjutnya pembagian dengan angka nol tidak didefinisikan.

Identitas Penjumlahan

Pada penjumlahan berlaku r + 0 = 0 + r  dengan  sebarang bilangan real. 0 di sini adalah sebagai identitas penjumlahan. Sebarang bilangan jika ditambah dengan angka 0 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri

3 + 0 = 3

3,1415 + 0 = 3,1415

Perkalian dengan nol

Setiap bilangan real yang dikalikan dengan nol, maka hasilnya adalah nol. Bisa dituliskan a x 0 = 0 x a, untuk sebarang  bilangan real.

23 × 0 = 0 × 23 = 0

47 × 0 = 0 × 47 = 0

Bagaimana dengan tak hingga dikalikan dengan nol.

∞ × 0 = ?

Hasilnya ya sama dengan nol.

Pembagian dengan nol

Dalam ilmu hitung matematika, satu hal yang tidak boleh dilakukan adalah membagi dengan nol. Dalam kehidupan, kita ibaratkan membagi dengan nol itu sama halnya dengan membuang suatu rezeki. Membagi dengan 1 bisa ditafsirkan dengan mengambil suatu rezeki hanya untuk dirinya sendiri. Membagi dengan 2 bisa ditafsirkan membagi rezeki kepada dua orang. Dan seterusnya.

Agama kita melarang untuk membuang suatu rezeki. Meskipun rezeki itu nilainya sangatlah kecil.  Demikian halnya dalam ilmu hitung matematika. Membagi dengan nol itu tidak boleh dilakukan. Karena akibatnya sangatlah fatal. Coba perhatikan hal berikut

Anggap a = b 

a^2     = ab                              [kedua ruas dikali dengan ]

      a^2 – b^2 = ab – b^2                    [kedua ruas dikurang b^2]

(a + b)(a - b)   = b (a - b)                     [pemfaktoran]

            (a+b)  = b                                [kedua ruas dibagi  a - b]

 Karena pada awalnya kita menganggap  a = b. Maka ganti  dengan  

b + b = b

     2b = b

       2 = 1

Akibat yang sangat fatal. Ini mengakibatkan 2 = 1. Padahal seharusnya 2 tidak sama dengan 1

Kesalahan terjadi pada bentuk

( a + b )(a-b) = b (a-b) menjadi a + b = b

Di situ kita melakukan pembagian dengan nol.

Karena a = b maka nilai a – b = b – b = 0

Ingat! Pembagian dengan nol itu tidak didefinisikan.

Nol per nol

Tidak jauh berbeda dari pembagian dengan nol. Nol per nol bisa diibaratkan sesuatu yang tidak ada, dan tidak dibagikan kepada siapapun. Sesuatu yang kosong yang dibuang. Tidak ada artinya membicarakan hal tersebut. Begitu juga nol per nol. Jika memang di awal kita sudah tidak diperbolehkan membagi dengan nol. Di sini berlaku pula untuk pembilang sama dengan nol. Tidak boleh dilakukan. Hasilnya pun tidak didefinisikan.

Kalau sebelumnya kita ketahui bahwa pembagian dua bilangan yang sama hasilnya 1, maka sekarang wajib kita berikan pengecualian yaitu untuk dua bilangan yang sama itu adalah 0.

a^0 (a Pangkat Nol)

Setiap bilangan yang dipangkatkan nol hasilnya sama dengan 1. Sebuah definisi mengatakan, jika  bilangan real dan,    a ≠ 0 maka a° = 1. Ini adalah sebuah definisi. Dan bukan merupakan sebuah teorema.

0^a (Nol Pangkat a)

Untuk a ≠ 0   , nilai dari 0^a  sama dengan nol.

Karena menurut definisinya yaitu 0 x 0 x 0 x 0 x … x 0 sebanyak a faktor 0.

Hasilnya akan tetap sama dengan nol. Ini juga merupakan bagian dari pembahasan sebelumnya yaitu perkalian dengan nol. Hasilnya sama dengan nol.

0^0(nol pangkat nol)

Ingat sifat perkalian pada bilangan pangkat.  A ^ m × a ^ n = a ^ ( m + n ).

Kita ambil a = 0 dan m = 0. Sedangkan n ≠ 0. Selanjunya bisa kita tuliskan  0 ^ 0 × 0 ^  n = 0 ^ ( 0  + n ). Ingat  0 ^ n untuk n bukan nol nilainya adalah nol. Dan akhirnya kita dapatkan

0 ^ 0 × 0 = 0

Misalkan kita ambil 0 ^ 0 = 1, maka hasilnya benar.

Kita ambil 0 ^ 0 = 7, hasilnya pun benar. 7 × 0 = 0.

Kita ambil bilangan berapapun akan memenuhi. Ingat kembali sifat perkalian dengan angka 0. Sebarang bilangan bisa mewakili 0 ^ 0.

Oleh karena itu 0 ^ 0 akhirnya tidak didefinisikan.

Mungkin beberapa kalkulator scientific masih menuliskan bahwa 0 ^ 0 = 1. Padahal jelas-jelas hal ini adalah salah.

0!

Baca 0 faktorial. Notasi seperti ini didefinisikan sebagai berikut :

n! (baca: n faktorial), didefinisikan sebagai perkalian bilangan asli dari n sampai 1 sebagai berikut

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙  ( n – 1  ) ∙ n

dan 0! = 1